数学之美：为什么要学高等数学

说起数学，相信大家不会陌生，因为从小学至今已学了12年的数学。如果把数学比喻成一座雄伟的高山，把数学学习比喻成登山，那么前面12年的数学学习充其量只是让你来到了山脚下，拿到了一张登山的门票而已，真正的登山即将从现在开始。

大家都有登山的经历吧，那为什么要登山呢？我想主要有两个原因，一来可以欣赏山上美丽独特的自然风景和历史悠久的人文景观；二来可以强身健体，并挑战自身的体能极限。学习数学的目的也与此类似，那就是领略数学之美、锻造数学素养、挑战智力极限。20世纪以来，数学已逐渐成为一门独立的科学，称为“数学科学”，她不仅是整个自然科学的基石，更是自然科学中的女皇。特别是进入21世纪，人类现代科技的发展日新月异、突飞猛进，而其幕后推手却与数学科学有着密不可分的联系。因此，在现代高等教育体系中，数学教育不仅是知识技能的教育，更是一种素质教育。

数学这座山有多高？答案是正无穷！历史上那些伟大的数学家也只是一代接一代地探知数学的新高度而已，离登顶还相差太远。大学四年的数学学习，也会让你们登上一定的高度，在这个攀登的过程中，虽然充满艰辛，但会一路欣赏到数学之美。这让我想起苏轼著名的七绝《题西林壁》：

横看成岭侧成峰，

远近高低各不同。

不识庐山真面目，

只缘身在此山中。

很多著名数学家都写过数学之美的书籍或文章，他们大多是从数学的某个分支出发，讲述理论研究和实际应用中数学的奇妙之处，或许这就像是身在庐山看庐山风景，横看成岭侧成峰，远近高低各不同吧。而现在大家手上拿着的却是一位IT专家吴军先生写的《数学之美》的书，他以一个非数学家的眼光和笔触介绍了线性代数与矩阵论、概率论与数理统计以及图论等高等数学工具在机器智能技术（如机器翻译、机器学习和语音识别等）和大数据科学（如互联网搜索、指纹识别和数据挖掘等）中起到的重要作用，或许这就像是在庐山之外看庐山，虽然细节不甚清楚，但庐山全貌却了然于胸吧。吴军先生的《数学之美》中涉及的一些数学细节，可能你们现在还看不懂，不过这不要紧，可以大致翻一翻，然后先放在一边，只要记住高等数学是机器智能技术和大数据科学的核心推动力就行。我相信到了大三，你们一定能完全看懂这本书并能深刻体会到数学之美的。

在我读大学的90年代初期以及更早的年代，由于本科毕业生不多，研究生教育尚未普及等原因，所以本科所学专业和职业前景密不可分。那个年代，复旦数学系的本科录取分数线就是理科最低线，一些没录取到热门专业的学生往往被迫调剂到数学系就读，因此学生水平参差不齐，就业前景不甚乐观。斗转星移，时过境迁。现在研究生毕业逐渐成为就职标准，而本科阶段更加重视素质教育，复旦数学学院的本科录取分数线是理科最高线，数学变成了最热门的专业之一。我问过历届学生选数学的原因，他们的回答基本上分为以下三种。一是热爱数学（如竞赛党），这类学生所占比例不大；二是高中数学成绩还不错（但并非竞赛党），听父母或亲朋好友说学数学可以更容易出国留学或转读其他方向的研究生，这类学生占有相当大的比例；三是高考成绩好，所以选了最热门的数学专业，这类学生所占比例也不大。另外，我还查阅过复旦数学学院2015届本科毕业生就业状况报告，其中写到：2015届本科毕业生总人数193人，出国留学62人，就读国内硕士博士68人，单位就业60人；出国留学62人中只有15人选择数学作为研究方向，剩下47人选择统计、金融、计算机等作为研究方向；就读国内硕士博士68人中，升入复旦数学学院57人（科学硕士或博士44人，金融专硕9人，统计专硕4人），复旦其他学院2人，其他大学9人；单位就业60人主要集中在咨询、信息与技术、投资私募和银行类。再根据研究生的就业情况可以粗略算出，数学学院一届本科生最终以数学研究作为终身职业的同学不会超过20%，因此80%以上的同学将转行到其他职业，并且很多职业都与高等数学密切相关，如统计、金融、计算机和大数据科学等。由此可见，进入数学学院的大部分同学都有较好的高中数学基础，你们的目标应该是在本科四年锻造数学素养、夯实数学基础，为将来出国留学、读研或就职打下坚实的基础。

如何在本科四年打好数学基础呢？根据我的经验，大一的三门基础课数学分析、高等代数和空间解析几何学得好不好，将会在很大程度上决定本科四年数学学习的走向。俗话说万事开头难，从学了12年的初等数学过渡到高等数学并不是一件容易的事情，它需要大家转变学习习惯和思维方式。我们基础课的任课老师会尽量做好高中填鸭式教学和大学自主性学习之间的有效衔接，上课讲解、布置作业、批改作业、上习题课等一系列环节，会让大家重新找回高中那种充实的感觉，逐步完成这个重要的过渡。同时这三门课程也是本科四年所有数学专业课的基础，大一这一年你们将会从这三门基础课中初步领略到高等数学的魅力。

没有高中数学竞赛基础，是否会影响大学数学的学习？答案是绝对不会。我们基础课的任课老师从未假设学生参加过高中数学竞赛，只是要求大家具备扎实的初等数学基础而已。我们相信不管你有没有竞赛基础，只要按照正确合适的方法努力学习，就一定能取得满意的成绩，打下扎实的数学基本功。反过来，我们也希望参加过高中数学竞赛的同学不要过度沉迷于初等数学的技巧之中，其实高等数学更加强调思想和方法，太注重一些所谓的技巧有时会适得其反。

大学数学的学习方法是怎样的呢？其实，每门数学专业课都有自己的特色，从而学习方法也不尽相同，大家可以向任课老师或学长学姐咨询具体的细节。另外，大学强调的是自主性学习，所谓师傅领进门、修行靠个人，授课之余很多深入和提高的内容还需要自己不断去探索和总结，要逐步形成自主学习、独立研究、勇于创新的品质。

如果学习成绩不好，慢慢地对数学失去了兴趣怎么办？我的回答是，能进入复旦数院的学生，都是全国范围内最好的学生。高水平的学生聚集在一起，成绩不好或不够拔尖都是正常现象，完全不必担心。事实上，学习成绩是否拔尖并不重要，重要的是本科四年都要始终如一的认真学习，锻造数学素养，夯实数学基础，为将来的发展奠定坚实的基础。至于兴趣的培养，我觉得并非一定要限定自己将来做数学研究，数院有很多论坛和讲座，有时间可以多参与，多听、多看、多想，不断扩大视野、增长见识，逐步培养自己的兴趣以及建立对未来职业的前景规划。

本文根据作者致复旦大学数学学院2016级新生寄语整理

作者：谢启鸿 复旦大学数学学院教授，博士生导师

（编辑：贺璟岚、王珏）